Examen d’informatique
Licence Génie des Systèmes Industriels - IUP2
Première session 2005

Durée : 2h. Notes de cours personnelles (manuscrites, sorties imprimante ou polys), TD et TP autorisés. Calculatrices autorisées. Autres documents (dont livres) interdits. Ce document comporte trois pages. Il est assez long, mais faisable. Il est donc déconseillé de perdre du temps à rajouter des choses que je n'ai pas demandées, comme des affichages ou des vérifications (je parle bien de celles que je n'ai pas demandées).

Remarques : En cas d’informations insuffisantes, vous pouvez faire toute supposition qui vous arrange, à condition qu’elle ne contredise ni ce que j’ai imposé dans le sujet, ni le bon sens.

Le calcul d'une pièce par éléments finis consiste à découper la pièce en petits éléments, en supposant un comportement simplifié (par exemple linéaire) pour chaque élément, permettant d'appréhender le comportement global de la pièce (contraintes internes, déformations). Comme pour l'approximation d'une courbe par des segments de droites, la taille des éléments n'a pas nécessairement à être uniforme.

Bien que cela fonctionne bien en 3D, plaçons nous uniquement dans les cas bidimensionnels (dans le plan xy). Un maillage d'une pièce est son découpage en éléments simples. Nous nous limiterons aux éléments triangles comme dessiné ci-contre. Le maillage est défini par deux groupes de données : les noeuds (numérotés ici de 1 à 9) et les élément (numérotés ici de I à VIII, en chiffres romains pour bien les différencier sur le dessin, mais dans la pratique on les numérotera normalement dans le programme, de 1 à 8). Chaque noeud est défini par ses deux coordonnées (donc des flottants) X et Y, chaque élément par les numéros (donc des entiers) des trois noeuds qui le forment. Bien qu'elle complique le travail du programmeur, cette organisation simplifie l'utilisation et permet une meilleure cohérence des données : pour déplacer le noeud 9, il suffit de changer ses coordonnées, sans rien modifier dans les éléments I, II, VII et VIII. Les numéros (de noeud et d'élément) commencent toujours par 1, et se suivent.

Nous désirons stocker un maillage sous forme d'objets. Voyez ci-après une partie des données correspondant au maillage ci-dessus :

Nous allons (vous allez, plutôt) définir ces différentes classes. Pour commencer, je vous détaille leurs attributs, nous verrons les méthodes après :

• noeud : comporte un numéro entier « NUM »; deux coordonnées réelles, « X » et « Y ».
• tabnoeuds : comporte le nombre total de noeuds du maillage « nbn », et un tableau de noeuds nommé « n » (on suppose avoir au maximum MAXNOEUD=1000 noeuds).
• element : comporte un numéro entier « NUM; » trois entiers (dans un tableau nommé « P ») qui correspondent aux numéros des trois noeuds qui le composent.
• tabelements : comporte le nombre total d'éléments du maillage « nbe », et un tableau d'éléments nommé « e »(on suppose avoir au maximum MAXELEMENT=1000 éléments).
• maillage : comporte un tabnoeuds et un tabelements.

Tous ces attributs devront être privés dans leur classe respective.

Question 1 : Définissez la classe « noeud ». Elle comportera les méthodes publiques suivantes :

• saisie : cette méthode reçoit un argument entier. Si quelque part je dispose d'un noeud nommé x, alors, en appelant x.saisie(5), elle met 5 dans l'attribut NUM de x et me demande d'entrer au clavier les deux coordonnées du noeud numéro 5 (qu'elle met dans les attributs X et Y de x).

• affiche : affiche les trois attributs de l'objet.
• get_NUM : c'est un « accesseur en lecture », c'est à dire qu'il ne reçoit aucun argument, mais retourne l'attribut NUM (je pourrai donc écrire « int i=x.get_NUM(); » à des endroits où je n'ai pas accès aux attributs privés du noeud x).
• get_X : accesseur en lecture de la coordonnée X du noeud.
• get_Y : accesseur en lecture de la coordonnée Y du noeud.
• deplace : reçoit deux arguments flottants, ajoute le premier à X et le second à Y.

Vous surchargerez également l'opérateur <<.

Question 2 : Définissez la classe « tabnoeuds ». Elle comportera les méthodes publiques suivantes :

• saisie : cette méthode demande le nombre de noeuds. Puis elle saisit les coordonnées des noeud, obligatoirement dans l'ordre : le numéro 1 en premier (mis en n[0]), puis le numéro 2...
• affiche : affiche tous les attributs de l'objet.
• deplace : reçoit deux arguments flottants, et déplace d'autant (suivant X et Y) tous les noeuds.
• get_nbnoeuds : accesseur en lecture du nombre de noeuds.
• position : reçoit en argument un entier num  [1,nbn]. Il cherche dans tout le tableau n où se trouve le noeud de numéro num et retourne la position de ce noeud (entier  [0,nbn[). Attention, il ne faut pas supposer que les noeuds sont restés dans l'ordre où ils étaient lors de la saisie (position=num-1) car, bien que vous ne le ferrez pas dans ce sujet, il faut normalement réorganiser les lignes du tabnoeuds pour optimiser le calcul par éléments finis.
• get_noeud_direct : accesseur d'un noeud. Il reçoit en argument un entier  [0,nbn[ et retourne le noeud placé à cet endroit dans le tableau n.
• get_noeud : reçoit en argument un entier num  [1,nbn] et retourne le noeud qui possède ce numéro (après en avoir cherché la position).

Question 3 : Déclarez la classe « element ». Contrairement aux questions précédentes, vous vous limiterez à la déclaration, c'est à dire que les attributs et entêtes des méthodes doivent être déclarés, mais la définition complète (externe) des méthodes n'a pas à être faite lors de cette épreuve. Par contre vous pourrez vous en servir dans les questions suivantes, si nécessaire. Cette classe comportera les méthodes publiques suivantes :

• saisie : cette méthode reçoit un argument entier. Si quelque part je dispose d'un élément nommé x, alors, en appelant x.saisie(5), elle met 5 dans l'attribut NUM de x et me demande d'entrer au clavier les trois numéros de points de l'élément de numéro 5.

• affiche : affiche les attributs de l'objet.
• get_NUM : accesseur en lecture de l'attribut NUM.
• get_P : reçoit en argument un entier (1, 2 ou 3), et retourne le numéro du noeud correspondant.

Vous pourrez également supposer que l'opérateur << a été surchargé.

Question 4 : La résolution d'un problème par éléments finis est simplifiée si l'on est sûr que les éléments sont définis dans le sens trigonométrique. Elle nécessite également la connaissance de la surface des éléments. Vous allez donc maintenant définir (complètement) les deux méthodes de la classe element. Dans cette question, pour simplifier, vous supposerez que les coordonnées des noeuds sont définies dans un tabnoeuds nommé N et qu'il soit accessible directement sans aucune déclaration (c'est ce qu'on appelle une variable globale, mais nous n'avons pas vu cela en cours).

• surface : retourne la surface de l'élément (voir remarques de fin de sujet).
• force_trigo : ne reçoit aucun argument, ne retourne rien, mais vérifie si les trois noeuds de l'élément sont donnés dans l'ordre trigonométrique. Si jamais ils ne le sont pas, il échange P[1] et P[2] sans changer P[0], ce qui le met en sens trigo (voir remarques de fin de sujet).

Question 5 : Définissez la classe « tabelements ». Vous n'y détaillerez qu'une seule méthode publique, nommée « connexions » qui reçoive en argument entier un numéro de noeud, et retourne le nombre d'éléments qui contiennent ce noeud. Cette méthode sera très utile lorsque l'on cherchera à calculer la somme des forces appliquée à un noeud (je vous en dispense pour cette fois-ci).

Question 6 : Cette question ne nécessite que quelques phrases en français, pas de programme. Soit la déclaration :

	class maillage : public tabnoeuds, public tabelements
	{};

Ceci signifie que la classe maillage hérite de la classe tabnoeuds ET de la classe tabelements. S'il n'y a rien entre les accolades, que pensez vous que l'on puisse faire avec cette classe ? Quelle(s) modification(s) aux questions précédentes proposeriez-vous pour améliorer l'utilisation de la classe maillage ?

Remarques : Un certain nombre de problèmes géométriques se résolvent beaucoup plus simplement avec les vecteurs (vous avez le droit de créer une fonction « prod_vect ») :

• La surface d'un triangle ABC est la moitié de la norme du produit vectoriel AB ^ AC. Donc si A, B et C sont dans le plan XY, c'est la moitié de la valeur absolue de la composante sur Z de ce produit vectoriel, donc fabs((x_B-x_A)*(y_C-y_A) - (x_C-x_A)*(y_B-y_A))/2.
• Les trois sommets d'un triangle ABC (dans le plan XY) sont donnés dans le sens trigonométrique si la composante sur Z du produit vectoriel AB ^ AC est positive (si elle est nulle, ABC sont alignés, on suppose que ça n'arrivera pas ici, c'est déjà assez dur comme cela).

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Patrick TRAU, ULP - IPST janvier 05