Algèbre de BOOLE

axiomes
théorèmes

George Boole (mathématicien anglais, 1815-1864) a démontré que si l'on peut trouver un espace dans lequel certains axiomes se vérifient, alors on se trouve dans un cas singulier, où un certain nombre de théorèmes peuvent s'appliquer.

axiomes

Pour qu'une algèbre puisse être dite de Boole, elle doit vérifier :

commutativité
a+b=b+a
a.b=b.a
associativité
(a+b)+c=a+(b+c)
(ab)c=a(bc)
distributivité
a(b+c)=ab+ac
a+(bc)=(a+b)(a+c)
éléments neutres
a+0=a
a.1=a
complémentation
_
a+a=1
_
a.a=0

théorèmes

Une algèbre de Boole vérifie les théorèmes suivants :

idempotence
a+a=a
aa=a
absorption
a+ab=a
a(a+b)=a
Morgan
___ _ _
a+b=a.b
___ _ _
a.b=a+b
élément neutre
a+1=1
a.0=0

De plus les fonctions suivantes sont définies :

	           _  _
	a XOR b = ab+ba
	           _ _
	a <=> b = (a+b)(a+b)
	           _
	a => b = a+b
	          _ _
	a NOR b = a.b
	           _ _
	a NAND b = a+b

commutativité	a+b=b+a	a.b=b.a
associativité	(a+b)+c=a+(b+c)	(ab)c=a(bc)
distributivité	a(b+c)=ab+ac	a+(bc)=(a+b)(a+c)
éléments neutres	a+0=a	a.1=a
complémentation	`_` `a+a=1`	`_` `a.a=0`

idempotence	a+a=a	aa=a
absorption	a+ab=a	a(a+b)=a
Morgan	`___ _ _` `a+b=a.b`	`___ _ _` `a.b=a+b`
élément neutre	a+1=1	a.0=0